Ako sa líši určitý integrál od neurčitého

Dnes možno slovo „integrálne“ počuť pomerne často a často aj na najneočakávanejších miestach, ako napríklad na kanáli na burze v televízii alebo na správach. Často počujeme frázu "integrálne ukazovatele", slovo "integrovaný", "integračný" a podobne. Všeobecne platí, že úradníci a moderátori televíznych programov vo všeobecnosti veľmi milujú rôzne slová, hoci je nepravdepodobné, že pochopia ich skutočný význam. A dnes budeme hovoriť o tom, čo je integrál, aké typy integrálu existujú a aké sú ich rozdiely.

Čo je integrál

Integrál je latinské slovo, ktoré k nám prišlo zo staroveku a znamená „celé“ alebo „úplné“. To znamená, že je jasné, že ak bol nejaký predmet povedaný o predmete, napríklad o mlieku, znamená to, že bol plný a bolo v ňom toľko mlieka, koľko bolo.

Časom sa toto slovo začalo používať v úplne odlišných disciplínach - vo filozofii, politike, ekonómii, algebre a geometrii. Ale najjednoduchšia interpretácia integrálu je daná matematikou.

Určitý integrál

Takže integrál je určitým súčtom jednotlivých častí. Tu sú najjednoduchšie príklady pre jasnejšie pochopenie podstaty tohto výrazu:

  1. Subjekt je integrál (súčet) molekúl.
  2. List v bunke je integrálny (súčet) buniek.
  3. Slnečná sústava je integrálnym (súčtom) slnka a planét.
  4. Spoločnosť je neoddeliteľnou súčasťou ľudí.
  5. Segment je integrál (súčet) metrov. Ak je malý segment, potom centimetre, milimetre alebo mikroskopické segmenty.
  6. OblasťAkýkoľvek povrch je integrál štvorcových metrov, centimetrov štvorcových alebo milimetrov a tiež mikroskopických oblastí.
  7. Objem je integrál kubických metrov alebo, ako sa tiež nazýva, litre.

Čo sú definované a neurčité integrály?

Začnime s určitým, pretože jeho význam je ľahšie pochopiteľný.

Geometria skúma oblasti . Napríklad, ak chcete lepiť tapetu doma, musíte poznať oblasť stien zistiť, koľko tapiet by ste mali kúpiť. Potom jednoducho vynásobíte dĺžku steny výškou a získate jej plochu. V tomto prípade je táto oblasť integrál štvorcových metrov alebo centimetrov, v závislosti od jednotiek, v ktorých ste merali. Ale povrchy, ktorých plochu potrebujeme vypočítať, nemajú vždy tvar obdĺžnika, štvorca alebo dokonca kruhu. Vo väčšine prípadov ide o zložité tvary s vlnitými stranami. Najbežnejším príkladom je plocha obrázku pod krivkou, ktorá má rovnicu y = 1 /x. Faktom je, že nie je možné nájsť svoju oblasť pomocou obyčajných vzorcov, podľa ktorých nájdeme oblasť štvorca, kruhu alebo dokonca gule. Na tento účel bol vyvinutý určitý integrál.

Podstatou metódy je, že naša zložitá postava musí byť rozdelená na veľmi úzke obdĺžniky, tak úzke, že výška každej z dvoch susedných je takmer rovnaká. Je zrejmé, že v skutočnosti je možné zmenšiť hrúbku týchto obdĺžnikov nekonečne, takže veľkosť dx sa použije na označenie ich hrúbky. X je súradnica a predpona d jeoznačenie nekonečne klesajúcej hodnoty. Preto, keď píšeme dx - to znamená, že vezmeme segment pozdĺž osi x, ktorého dĺžka je veľmi malá, takmer nulová.

Preto sme sa už dohodli na tom, že plocha ktorejkoľvek číslice je integrálnou hodnotou štvorcových metrov alebo akýchkoľvek iných čísel s menšími plochami. Potom je naša postava, ktorej oblasť hľadáme, integrálnym alebo súčtom tých nekonečne tenkých obdĺžnikov, do ktorých sme ju rozdelili. A jeho plocha je súčtom ich oblastí. To znamená, že našou celou úlohou je nájsť oblasť každého z týchto obdĺžnikov a potom ich všetky pridať - to je jednoznačný integrál.

Teraz hovorme o neurčitom integrále. Len aby sme pochopili, čo to je, musíte sa najprv dozvedieť o deriváte. Začnime.

Derivácia je uhol sklonu dotyčnice ku ktorémukoľvek grafu v určitom bode. Inými slovami, derivácia je nakoľko je graf naklonený na danom mieste. Napríklad priamka v ktoromkoľvek bode má rovnaký sklon a krivka je iná, ale môže sa opakovať. Na výpočet derivácie existujú špeciálne vzorce a proces jej výpočtu sa nazýva diferenciácia. tj diferenciácia je určenie uhla grafu v danom bode.

Tabuľka základných neurčitých integrálov

A aby sme to urobili opačne - zistiť vzorec grafu jeho uhlom sklonu, uchyľujú sa k operácii integrácie alebo sumarizácie údajov o všetkých bodoch. Integrácia a diferenciáciadvoch recipročných procesov. Iba tu nepoužívajú integrál, ktorý bol v prvom odseku (na určenie oblasti), ale druhý - neurčitý, to znamená, že nemá žiadne obmedzenia.

Predpokladajme, že vieme, že derivácia určitej funkcie sa rovná 5. 5 je uhol sklonu grafu k osi x v danom bode. Potom, integráciou derivácie, sa učíme, že funkcia tohto derivátu, ktorá sa tiež nazýva primitív, je y = 5x + c, kde c je ľubovoľné číslo. Pre integráciu, ako aj pre diferenciáciu, existujú špeciálne vzorce, ktoré možno nájsť v tabuľkách.

Záver

Na záver zhrnieme, že hlavný rozdiel medzi definitívnym integrálom a neurčitým je v ich úlohách. Určité integrály sa používajú na výpočet ohraničených parametrov, ako je plocha, dĺžka alebo objem, a neurčitý, keď sa vypočítavajú parametre, ktoré nemajú hranice, to znamená funkcie.

Zaujímavé video na túto tému: